Movimientos y Aceleraciones: marzo 2016

Funciones Cuadraticas

Concepto:

Una función cuadrática es una función polinómica de grado 2. Tiene una expresión del tipo (forma estándar): $y = ax^2 + bx + c \,$

La gráfica de una función cuadrática es una parábola.

Algunas parábolas cortan al eje de las X (eje de abcisas) en dos puntos. Esos valores son las raíces (reales) o ceros del polinomio.

La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que exista el término x² en la ecuación. Existen varios métodos pararesolver las ecuaciones cuadráticas. El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende del tipo de ecuación cuadrática que se va aresolver. En este curso estudiaremos los siguientes métodos: factorización, raíz cuadrada, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática.

Factorización:

Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Luego expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto defactores. Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable.

Reglas:

Podemos resolver cualquier ecuación cuadrática completando el cuadrado — convirtiendo un polinomio en un trinomio cuadrado perfecto. Si completamos el cuadrado en la ecuación genérica y luego resolvemos x, encontramos que . Esta ecuación un poco extraña se conoce como fórmula cuadrática.

Esta fórmula es muy útil para resolver ecuaciones cuadráticas que son difíciles o imposibles de factorizar, y usarla puede ser más rápido que completar el cuadrado. La fórmula cuadrática puede ser usada para resolver cualquier ecuación cuadrática de la forma .

Vamos a completar el cuadrado en la ecuación general, , para ver exactamente cómo se produce la fórmula cuadrática. Recuerda el proceso de completar el cuadrado:

· Empezar con una ecuación de la forma .

· Reescribir la ecuación de forma que quede despejada.

· Completar el cuadrado sumando a ambos lados.

· Reescribir como el cuadrado de un binomio y resolver x.

¿Puedes completar el cuadrado en la ecuación cuadrática general ? Inténtalo antes de continuar con el siguiente ejemplo. Pista: Cuando trabajas con la ecuación general , existe una complicación que consiste en que el coeficiente de no es igual a 1. Puedes dividir la ecuación entre a, lo que hace que se compliquen algunas de las expresiones, pero si tienes cuidado, todo resultará bien, y al final, ¡obtendrás la fórmula cuadrática

ejercicios a resolver con la formula general

Ejemplo
Problema	Completar el cuadrado de para obtener la fórmula cuadrática.
		Dividir ambos lados de la ecuación entre a, para que el coeficiente de sea 1
		Reescribir de tal forma que el lado izquierdo tenga la forma (aunque en este caso bx es ).
		Sumar a ambos lados para completar el cuadrado
		Escribir el lado izquierdo como un binomio cuadrado
		Evaluar como .
		Escribir las fracciones del lado derecho usando un común denominador
		Sumar las fracciones de la derecha
		Sacar la raíz cuadrada de ambos lados. ¡Recuerda que debes conservar ambas raíces la positiva y la negativa!
		Restar de ambos lados para despejarx.
		El denominador bajo el radical es un cuadrado perfecto, entonces .
		Sumar las fracciones ya que tienen un común denominador
Solución

ejercicio resuleto con la formula cuadratica

Ejemplo
Problema	Usar la fórmula cuadrática para resolver la ecuación
		a = 3, b = -11, c = -4 Nota que la resta de signos significa que los coeficientes b y c son negativos
		Sustituir los valores en la fórmula cuadrática
		Simplificar, teniendo cuidado con los signos
		Simplificar más
		Simplificar el radical: .
	o	Separar y simplificar para encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática. Nota que en una, 13 es sumado y en la otra, 13 es restado
Solución	x = 4 o

imagenes

links:

http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/ecuadw.htm

http://www.hiru.eus/matematicas/la-funcion-cuadratica

https://www.youtube.com/watch?v=0pUnHF1FJ2s

videos:

Ecuaciones cuadraticas

Concepto:

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax²+ bx + c, donde a, b, y c son números reales.

Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:

1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática

Factorización Simple:

La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.

Completando el Cuadrado:

En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.
Por ejemplo, para factorizar la ecuación

Fórmula Cuadrática:

Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática

reglas:

Cuando un polinomio es igual a cierto valor (ya sea un entero u otro polinomio), el resultado es una ecuación. Una ecuación que puede ser escrita de la forma ax² + bx + c = 0 se llama ecuación cuadrática. Podemos resolver estas ecuaciones cuadráticas usando las reglas del álgebra, aplicando técnicas de factorización donde sea necesario, y usando la Propiedad Cero de la Multiplicación.

Esta propiedad puede parecer obvia, pero tiene importante implicaciones en cómo resolvemos ecuaciones cuadráticas: significa que si tenemos un polinomio factorizado igual a 0, podemos estar seguros de que al menos uno de sus factores es también 0. Podemos usar este método para identificar soluciones de una ecuación.

Pero nos estamos adelantando — empecemos con un ejemplo de una ecuación cuadrática y pensemos en cómo resolverla. La ecuación 5a² + 15a = 0 es una ecuación cuadrática porque puede escribirse como 5a²+ 15a + 0 = 0, que es equivalente a la forma ax² + bx + c = 0, con c = 0.

En este punto hemos factorizado completamente el lado izquierdo de la ecuación. Si sólo quisiéramos factorizar la expresión, podríamos parar aquí, pero recuerda que estamos resolviendo a de la ecuación.

Aquí es donde usamos la Propiedad Cero de la Multiplicación. Ya que toda la expresión es igual a cero, sabemos que por lo menos uno de los términos, 5ao (a + 3), tiene que ser igual a cero. Vamos a continuar con la solución de este problema igualando cada término a cero y resolviendo las ecuaciones.

Resultan dos valores posibles de a: 0 y -3. (Estos valores también se llaman raíces de la ecuación.) Para comprobar nuestras respuestas, podemos sustituir ambos valores directamente en nuestra ecuación original y ver si obtenemos una expresión válida para cada una.

Sustituir estos valores en la ecuación original produce dos expresiones correctas, entonces sabemos que nuestros valores son correctos. Esta ecuación cuadrática, 5a² + 15a = 0, tiene dos raíces: 0 y -3.

Podemos usar el Producto Cero de la Multiplicación para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma ax² + bx + c = 0. Primero factorizamos la expresión, y luego resolvemos cada una de las raíces.

ejemplos para resolver y ejemplos resuletos

Ejemplo
Problema	Resolver a en 5a² + 15a = 0
	5a² + 15a = 0	El problema nos pide resolver a; empecemos por factorizar el lado izquierdo de la ecuación
	5(a² + 3a) = 0	5 es factor común de 5a² y 15a.
	5a(a + 3) = 0	a es factor común un de a² y 3a.

Ejemplo
Problema	Resolver r. r² – 5r + 6 = 0.
	r² – 3r – 2r + 6 = 0		Expandir el término -5r usando dos coeficientes tales que su suma sea -5 y su producto sea 6.
	(r² – 3r) – (2r – 6) = 0		Agrupar términos
	r(r – 3) – 2(r – 3) = 0		Sacar los factores comunes de cada grupo
	(r – 3)(r – 2) = 0		Usar la Propiedad Distributiva para sacar (r – 3) como un factor
	r – 3 = 0	r – 2 = 0	Usar la Propiedad Cero de la Multiplicación para igualar cada factor a 0
	r = 3	r = 2	Resolver la ecuación
Solución	r = 3 o r = 2		Las raíces de la ecuación original son 3 o 2

Ejemplo
Problema	Resolver b en 5b² + 4 = -12b
	5b² + 4 + 12b = -12b + 12b		La ecuación original tiene -12b a la derecha. Para hacer este lado igual a cero, sumar 12b a ambos lados
	5b² + 12b + 4 = 0		Combinar términos semejantes
	5b² + 10b + 2b + 4 = 0		Reescribir 12b para agrupar y factorizar fácilmente
	5b(b + 2) + 2(b + 2) = 0		Usar la Propiedad Distributiva para sacar los factores comunes de los pares de términos
	(5b + 2)(b + 2) = 0		Usar la Propiedad Distributiva para sacar el factor (b + 2). La cuadrática queda completamente factorizada
	5b + 2 = 0	b + 2 = 0 b = -2	Aplicar la Propiedad Cero de la Multiplicación
Solución	o b = -2

imagenes:

videos:

links:

https://www.youtube.com/watch?v=l2GX8tKFUdE

http://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_TEXT_RESOURCE/U10_L1_T3_text_final_es.html

http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/ecuaciones-cuadraticas.html

Posicion relativa entre una recta y una parábola

Concepto:

En este artículo vamos a interpretar los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas formados por una ecuación lineal o función de primer grado y una ecuación cuadrática o función de segundo grado.

Desde un punto de vista geométrico, las ecuaciones lineales representan rectas y las ecuaciones cuadráticas representan parábolas.

Las soluciones de los sistemas así formados representan la intersección o intersecciones de una recta y una parábola en un plano.

Antes de comenzar con los sistemas os dejo un documento pdf que trata sobre las ecuaciones de segundo grado

reglas:

Se despeja y

Se resuelve la ecuacion que se obtuvo

El punto de equilibrio es puesto que el otro punto tiene valores negativos que no son validos pues no se pueden producir u ofertar -6 unidades.

Para realizar el grafico se elabora la tabla de valores tanto en la recta como para la parabola

solucion:
Para resolver el ejercicio primero se debe determinar la pendiente de la recta que es tangente a la parabola

Luego se determina la ecuacion de la recta que pasa por el pumto que va a indicar utilizando la forma punto-pendiente,es el valor de la pendiente que se necesita determiar.

Despues se despeja la variable y de la ecuacion.

Para que exista tangencia en esta ecuacion se debe cumplir b2-4ac=0

ejercicios:
ecuación

imagenes:

videos:

links:

https://www.youtube.com/watch?v=k7zxQdW6zJU

http://educativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio//1750/1975/html/21_posiciones_relativas_de_rectas_y_parbolas_sistemas.html

sistemas cuadraticos

concepto:

un sistema de ecuaciones de segundo grado o cuadratico es aquel en el que aparece al menos una ecuacion de grado 2. de igual manera que en las ecuaciones lineales,ujn sitrema cuadratico es compatible determinado cuando hay uno o dos cortes entre las ecuaciones participantes es compatible indeterminado si las parabolas son coincidentes e incompatible si las parabolas no se cortan en nigun punto.

regla:

para resolver este sistema en particular primero debemos despejar la variable y de las dos ecuaciones.

luego se debe igualar la variable y que se encuentra ya despejada en las dos ecuaciones.

una vez que se igualo se resuelve esta ecuacion con los principios ya estudiados en la resolucion de ecuaciones de segundo grado.

Pra finalizar se remplaza estos valores en cualquiera de las ecuaciones iniciales para encontrar los valores de y correspondientes.

Lo cual quiere decir que tenemos dos puntos de corte y por lo tanto es un sistema compatibloe determinado

ejercicios:

Ejemplos
Problema	Resolver el sistema graficando las ecuaciones y
		Graficar cada ecuación y localizar los puntos de intersección
Solución	Este sistema tiene dos soluciones, No podemos determinar la posición exacta de los puntos de intersección a partir de la gráfica, pero son aproximadamente (-2,0) y (5,22)

Resolver el sistema usando el método de sustitución y
		En este caso, ambas ecuaciones tienen la variable y despejada, por lo que las podemos igualar
		Restar 3x de ambos lados y restar 7 de ambos lados. Ahora queda una ecuación cuadrática igual a 0 por lo que podemos usar la fórmula cuadrática, , para encontrar la solución
		a = 1, b = -3, y c = -12
		Sustituir los valores de a, b, y c en la fórmula
		Simplificar
o		Simplificar un poco más, recordando evaluar ambos y .
		Evaluar cualquiera de las funciones con cada x para encontrar el valor de ycorrespondiente
Solución	(5.27, 22.82) y (-2.27, 0.18)

Ejemplo
Problema	Resolver el sistema graficando las ecuaciones y
		Graficar ambas ecuaciones y encontrar los puntos de intersección Aproximar las coordenadas de los puntos de intersección
Solución	(-3, 9) y (3, 9)

Ejemplo
Problema	Resolver el sistema usando el método de sustitución: y
		En este caso ambas ecuaciones tienen la variable y despejada, por lo que las podemos igualar
		Sumar 2x² y 6 a ambos lados para traer todas las variables a un lado de la ecuación
		Aplicar la fórmula cuadrática. a = 3, b = 0, y c = 10
		Simplificar, notando que la cantidad debajo de la raíz cuadrada es un valor negativo - este es el[discriminante] - lo que significa que no hay solución y las gráficas no se intersectan
Solución	no hay solución

Ejemplo
Problema	Resolver el sistema usando combinación lineal y
		Alinear las ecuaciones
		Como ya hay dos variables que son opuestas (x² y –x²), podemos sumar las dos ecuaciones
	y = 5	Despejar y dividiendo ambos lados de la ecuación entre 2
		Sustituir y en una de las ecuaciones para encontrar los valores de x.
Solución	y

imagenes:

videos:

links:

http://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_TEXT_RESOURCE/U10_L2_T2_text_final_es.html

https://www.youtube.com/watch?v=HKrvXT4c96Q

Inecuaciones cuadraticas

Concepto:

Resolver inecuaciones cuadraticas consiste en encontrar los intervalos en los que se cumple la desigualdad dada.para esto se sigue el proceso de los ejemplos.

reglas:

primero se factoriza el trinomio.

luego cada factor se iguala a cero y se despeja la varible.

En la recta numerica y ordenados se ubican los valores que se obtuvieron y se observa que la recta queda dividida entre intervalos.

Despues se realiza una tabla para evaluar los factores que resultaron del trinomio factorizado.

Para completar la tabla de signos es necesariotomar un valor que se encuentre en cada intervalo remplazarlo en las expresiones de la primera columna y verificar el signo que se obtiene.Despues se ubicaeste signo en el espacio correspondiente .

Enm el primer intervalo se toma por ejemplo el cero.Se remplaza este valor en x-3,0-3=-3.El signo es negativo asi que se coloca el (-) ejn el espacio del primer intervalo.

Luego se toma un valor del siguiente intervalo.es negativo asi que se lo coloca en la tabla

despues se toma un valor del tercer intervalo.se obtine el signo positivo y se lo coloca en la tabla.

ejercicios resueltos

x² − 6x + 8 > 0

solución a la ecuación

P(0) = 0²− 6 · 0 + 8 > 0

P(3) = 3²− 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0

P(5) = 5²− 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0

S = (-∞, 2) Unión

(4, ∞)

x² + 2x +1 ≥ 0

x² + 2x +1 = 0

(x + 1)² ≥ 0

Solución
x² + 2x +1 ≥ 0	(x + 1)² ≥ 0
x² + 2x +1 > 0	(x + 1)² > 0
x² + 2x +1 ≤ 0	(x + 1)² ≤ 0	x = − 1
x² + 2x +1 < 0	(x + 1)² < 0

x² + x +1 > 0

x² + x +1 = 0

solución

2)

x⁴ − 25x² + 144 < 0
x⁴ − 25x² + 144 = 0
solución

(−4, −3)

(−3, 3 )

(3, 4) .

imagenes:

videos:

links:

https://www.youtube.com/watch?v=QPwNdQZsbq8
http://www.vitutor.net/2/9/inecuaciones_cuadraticas.html
http://www.vitutor.com/ecuaciones/ine/s_e.html

inecuaciones cuadraticas con 2 variables.

concepto:
Resolver una inecuacion cuadratica con 2 variables significa determinar de entre las dos posibles regiones dentro y fuera de la parabola aquella en la que se cumple la condicion dada.
La grafica de la inecuacion y> Ax2+Bx+C la componen todos los puntos que estan por encima de la relacion y=Ax2+Bx+C
Si la grafica de la ecucacion fuese y<Ax2+Bx+C,la compondrian todos los puntos por debajo de la relacion anterior.

reglas:

Primero se escribe como si fuese una igualdad.
Se grafica la parabola.Para esto se completa el trinomio cuadrado perfecto para determinar el vertice el foco y el lado recto.
Una vez que se ha graficado la parabola es recomendable tomar un punto y reeemplazarlo en la inecuacion.Si se obtiene una desigualdad verdadera ese sera el sector que se debe pintar como la solucion

ejercicios:


El conjunto solución es el interior del triángulo sombreado, sin incluir ninguno de los lados. Para aclarar mejor la solución debemos calcular las coordenadas de los vértices del triángulo, lo cual se consigue resolviendo los tres sistemas:

imagen:

video:

links:

https://www.youtube.com/watch?v=1KImtr2AiYw
http://precalculo21.webcindario.com/id401.htm
http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/Lin_Ineq2d/ineq2d_home.html

sistemas de inecuaciones cuadraticas

concepto:
un sistema de inecuaciones es un conjunto de estas del que se quiere calcular la solucion comun .La solucion de un sistema de inecuaciones cuadraticas es el conjunto de puntos que se intersecan en las regiones del plano y que son solucion de cada una de las inecuaciones participantes.los sistemas de inecuaciones cuadraticas se pueden representar en forma grafica.
reglas:
Primero se escriben como ecuaciones.
Luego se grafican la ecuacion lineal y la parabola
Luego se dan algunos puntos que permiten ubicar la region en que se encuentra la solucion .Por ejemplo al reemplazar el punto en la inecuacion 2.esta es una proposicion falsa entonces esta region no soluciona la inecuacion.Otro punto puede ser (0,4)02+4<5 esta es una proposicion verdadera lo que significa que toda esa region soluciona la inecuacion.
Entonces la region comprendida entre a la parabola y la recta es la solucion comun y representa la solucion del sistema .Loa valores ubicados en la linea discontinua no son solucion del sistema.

ejercicios resueltos:

rueba	Intervalos	(x + 3)	(x – 1)	(x + 3)(x – 1) ≤ 0
x = - 5	(-∞, - 3)	–	-	(–)(–) = +
x = - 2	(- 3, 1)	+	-	(+)(–) = –
x = 4	(1, +∞)	+	+	(+)(+) = +

x2 – 5x + 6 < 0 x2 – 7x + 10 ≥ 0
1º x2 – 5x + 6 < 0 factorizando (x – 1)(x – 6) < 0

Prueba	Intervalos	(x – 1)	(x – 6)	(x – 1)(x – 6) < 0
X = 0	(-∞, 1)	–	-	(–)(–) = +
X = 3	(1, 6)	+	-	(+)(–) = –
X = 8	(6, +∞)	+	+	(+)(+) = +

X2 + 2x – 8 > 0 factorizando (x + 4)(x – 2) > 0

Prueba	Intervalos	(x + 4)	(x – 2)	(x + 4)(x – 2) > 0
X = - 5	(-∞, - 4)	–	-	(–)(–) = +
X = - 2	(- 4, 2)	+	-	(+)(–) = –
X = 4	(2, +∞)	+	+	(+)(+) = +

imagenes :

video:

links:

https://www.youtube.com/watch?v=7zp1T6IuY2g
http://tomas-net.es.tl/Sistemas-de-inecuaciones-cuadr%E1ticas.htm
http://www.vitutor.net/2/9/inecuaciones_cuadraticas.html

Ecuaciones e inecuaciones cuadraticas con valor absoluto

Concepto:

Para resolver ecuaciones cuadraticas con valor absolutoes necesario aplicar la definicion analitica del valor absoluto y revisar los resultados obtenidos aplicando diferentes metodos.

Para resolver inecuaciones cuadraticas con valor absoluto al igual que con las inecuaciones linealess se deben considerar las propieddades principales de las desigualdades del valor absoluto.

Reglas:

ecuaciones cuadratica con valor absoluto:

Primero se aplica esta propiedad de valor absoluto:IxI=a se cumple si y solo si x=a o x=-a

Se iguala a cero

Se encuentra los factores.

Se aplica la formula.

Se encuentra las raices de la ecuacion.

inecuacion cuadratica con valor absoluto:

Para resolver la inecuacion primero se aplica la propiedad la propiedad respectiva.

Luego se resuelve cada ecuacion por separado.

Se igualan los factores a cero para obtener los valores criticos de la inecuacion.

Se elabora la tabla para ubicar el intervalo en el que tiene solucion la inecuacion.

Como la inecuacion tiene el signo < los extre,os 2 y 4 son parte de la solucion.

Se igualan los factores a cero para obtener las raices de cada intervalo.

Se elabora la tabla para ubicar el intervalo en el que tieene solucion la inecuacion.

Com,o la inecuacion tiene el signo > los intervalos que son solucion son los positivos con los extremos cerrados.

Ejercicios resueltos

ecuacion cuadratica con valor absoluto

x 2 - 9 = x + 3

x 2 - 9 = x + 3		x 2 - 9 = - x + 3
x 2 - x - 1 2 = 0		x 2 - 9 = - x - 3
x - 4 x + 3 = 0		x 2 + x - 6 = 0
x = 4 x = - 3		x + 3 x - 2 = 0
		x = 2 x = - 3

comprobacion:

x 2 - 9 = x + 3	x 2 - 9 = x + 3	x 2 - 9 = x + 3
4 2 - 9 = 4 + 3	- 3 2 - 9 = - 3 + 3	2 2 - 9 = 2 + 3
1 6 - 9 = 7	9 - 9 = 0	4 - 9 = 5
7 = 7	0 = 0	- 5 = 5
7 = 7	0 = 0	5 = 5